摘要:對(duì)直梁圓角形柔性鉸鏈的柔度矩陣進(jìn)行了研究。首先,基于懸臂梁理論推導(dǎo)了直梁圓角形柔性鉸鏈平面內(nèi)變形的解析計(jì)算方法,建立了柔性鉸鏈平面內(nèi)柔度矩陣的閉環(huán)解析模型,并給出了r/t(r為鉸鏈圓角半徑,t為鉸鏈厚度)時(shí)柔度矩陣的簡(jiǎn)化計(jì)算公式。然后,建立了直梁圓角形柔性鉸鏈的有限元模型,得到了柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)參數(shù)r/t和l/t(l為鉸鏈長(zhǎng)度)變化時(shí)柔度矩陣解析值和有限元仿真值的相對(duì)誤差,以及r/t變化時(shí)柔度矩陣簡(jiǎn)化解析值和仿真值的相對(duì)誤差。結(jié)果表明:采用懸臂梁理論建立的柔性鉸鏈柔度矩陣模型,當(dāng)l/t≥4時(shí),柔度矩陣各項(xiàng)參數(shù)的理論解析值與有限元仿真值相對(duì)誤差在5.5%以內(nèi),當(dāng)0.1≤r/t≤0.5時(shí),兩者的相對(duì)誤差能夠控制在9%以內(nèi),當(dāng)0.2≤r/t≤0.3時(shí),兩者的相對(duì)誤差能夠控制在6.5%以內(nèi);當(dāng)r/t≤0.3時(shí),簡(jiǎn)化解析值與仿真值的相對(duì)誤差控制在9%以內(nèi),當(dāng)r/t≤0.2時(shí),簡(jiǎn)化解析值與仿真值的相對(duì)誤差控制在7%以內(nèi),從而驗(yàn)證了柔度矩陣閉環(huán)解析模型的正確性。建立的直梁圓角形柔性鉸鏈柔度矩陣閉環(huán)解析模型可為柔性鉸鏈以及柔性體機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供理論依據(jù)。

引言

柔性鉸鏈利用其自身的彈性變形而非剛性元件的運(yùn)動(dòng)來傳遞或轉(zhuǎn)換運(yùn)動(dòng)、力或能量,相對(duì)于傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)鉸鏈,柔性鉸鏈具有運(yùn)動(dòng)分辨率高、無摩擦、無需潤(rùn)滑、制造工藝簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn),已被廣泛應(yīng)用于投影光刻物鏡、硅片工作臺(tái)、電子掃描顯微鏡、空間光學(xué)遙感器[7飊8]等精密器件,以及精密和超精密加工等領(lǐng)域。柔性鉸鏈的柔度是柔性鉸鏈、柔順機(jī)構(gòu)的關(guān)鍵參數(shù),直接關(guān)系到柔順機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性及其末端的定位精度。國(guó)內(nèi)外圍繞柔性鉸鏈的柔度開展了很多研究工作。Paros等推導(dǎo)了單軸和雙軸圓弧形柔性鉸鏈柔度的精確計(jì)算公式以及簡(jiǎn)化公式。吳鷹飛等給出了圓弧形柔性鉸鏈柔度更為簡(jiǎn)潔的計(jì)算方法。Smith等給出了橢圓形柔性鉸鏈的柔度矩陣計(jì)算方法,并通過有限元和實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行了驗(yàn)證。Lobontiu等[14]基于卡氏第二定理建立了直梁圓角形柔性鉸鏈柔度的理論模型,并將其應(yīng)用到平面運(yùn)動(dòng)放大機(jī)構(gòu)中,但該理論模型沒有考慮剪切力的影響。Hale[15]對(duì)直梁圓角形柔性鉸鏈進(jìn)行了分析,建立了其柔度矩陣的計(jì)算模型,但模型僅考慮了柔度矩陣對(duì)角線的元素。Xu等通過有限元方法對(duì)圓弧形、直梁圓角形和橢圓形柔性鉸鏈的運(yùn)動(dòng)精度進(jìn)行了分析。

基于上述研究現(xiàn)狀,本文針對(duì)直梁圓角形柔性鉸鏈的柔度矩陣進(jìn)行了研究。

1直梁圓角形柔性鉸鏈的柔度矩陣

直梁圓角形柔性鉸鏈如圖1所示,鉸鏈整體為直梁片狀結(jié)構(gòu),鉸鏈兩端與基體接觸處為避免應(yīng)力集中采用圓角進(jìn)行過渡。直梁圓角形柔性鉸鏈的主要幾何參數(shù)包括鉸鏈高度h、鉸鏈長(zhǎng)度l、鉸鏈厚度t和鉸鏈圓角半徑r。

直梁圓角形柔性鉸鏈的模型如圖2所示,將柔性鉸鏈的右端固定,將輸入力和力矩作用在柔性鉸鏈的左端,定義x軸正方向?yàn)槿嵝糟q鏈固定端指向自由端,y軸為垂直于直梁薄片平面方向,坐標(biāo)系遵循右手定則。圖中0-1段和3-4段為圓角部分,1-3段為直梁部分。柔性鉸鏈為厚度t隨著x變化的變截面梁,其函數(shù)表達(dá)式為

2 直梁圓角形柔性鉸鏈柔度矩陣的有限元驗(yàn)證

為了驗(yàn)證推導(dǎo)得到的直梁圓角形柔性鉸鏈的柔度矩陣閉環(huán)解析式,采用UGNXNASTRAN軟件對(duì)直梁圓角形柔性鉸鏈進(jìn)行了有限元建模仿真和分析。

直梁圓角形柔性鉸鏈的有限元模型如圖3所示。柔性鉸鏈的材料為銦鋼,其彈性模量E=141GPa,泊松比v=0.259。建模時(shí)將柔性鉸鏈的右端完全約束,在左側(cè)的直梁自由端點(diǎn)4處施加單位力Fx、Fy和單位力矩Mz。

圖4所示為直梁圓角形柔性鉸鏈加載單位力/力矩時(shí)的仿真分析結(jié)果。為了分析直梁圓角形柔性鉸鏈各結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)柔度矩陣的影響,分別分析了比值l/t和r/t變化時(shí),柔度矩陣各參數(shù)的解析值和仿真值的相對(duì)誤差,同時(shí)也分析了比值r/t變化時(shí)簡(jiǎn)化解析值與仿真值的相對(duì)誤差。

數(shù)的影響,分別取l/t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,并固定r=0.3mm,h=11mm,對(duì)柔度矩陣各項(xiàng)參數(shù)的解析值與仿真值進(jìn)行了分析,得到的數(shù)據(jù)如表1所示。

將表1的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成圖5所示的點(diǎn)圖形式。由圖5可知:柔度矩陣參數(shù)cx,Fx、cy,Mz、cQz,Mz的解析值與仿真值相對(duì)誤差隨比值l/t的變化很小,而cy,Fy和cQz,Fy的解析值與仿真值相對(duì)誤差的絕對(duì)值則隨比值l/t的增大而減小。當(dāng)l/t曒4時(shí),柔度矩陣的上述各項(xiàng)系數(shù),理論解析值與有限元仿真值的相對(duì)誤差均能夠控制在5.5%以內(nèi)。當(dāng)比值l/t<4時(shí),由于懸臂梁不能簡(jiǎn)化為細(xì)長(zhǎng)梁,柔度矩陣參數(shù)cy,Fy和cQz,Fy理論值與有限元仿真值之間的相對(duì)誤差比較大。因此上述直梁圓角形柔性鉸鏈的柔度閉環(huán)解析模式,適用于l/t較大的情況。

2.2比值r/t對(duì)柔度矩陣各參數(shù)的影響

為了分析比值r/t對(duì)柔度矩陣解析式各項(xiàng)參數(shù)的影響,分別取r/t=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,并固定l=4mm,h=11mm對(duì)柔性鉸鏈進(jìn)行了分析,得到柔度矩陣各項(xiàng)參數(shù)的解析值與仿真值,如表2所示。

將表2的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成圖6所示的點(diǎn)圖形式。由圖6可知:柔度矩陣參數(shù)cy,Mz、cQz,Fy的解析值與仿真值相對(duì)誤差的絕對(duì)值隨比值r/t的增大而增大;柔度矩陣參數(shù)cy,Fy、cQz,Mz的解析值與仿真值相對(duì)誤差的絕對(duì)值隨著比值r/t的增大而減小;柔度矩陣參數(shù)cx,Fx解析值與仿真值相對(duì)誤差的絕對(duì)值隨著比值r/t的增大先減小后增大。當(dāng)r/t≤0.5時(shí),上述柔度矩陣各參數(shù)的解析值與有限元仿真值相對(duì)誤差能夠控制在9%以內(nèi),當(dāng)0.2≤r/t≤0.3時(shí),相對(duì)誤差能夠控制在6.5%以內(nèi)。

2.3暋比值r/t對(duì)柔度矩陣簡(jiǎn)化值各參數(shù)的影響柔度矩陣各項(xiàng)參數(shù)的推導(dǎo)過程中,給出了r烆t時(shí)各項(xiàng)參數(shù)的簡(jiǎn)化解析公式,為了說明給出的簡(jiǎn)化解析公式的適用范圍,分別取r/t=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,并固定l=4mm,h=11mm對(duì)柔性鉸鏈進(jìn)行了分析。得到柔度矩陣各項(xiàng)參數(shù)的簡(jiǎn)化解析值與仿真值,如表3所示。

將表3的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成圖7所示的點(diǎn)圖形式,可知柔度矩陣各項(xiàng)參數(shù)的簡(jiǎn)化解析值與仿真值相對(duì)誤差隨著比值r/t的增大而增大,當(dāng)r/t≤0.3時(shí),解析值與有限元仿真分析結(jié)果的相對(duì)誤差能夠控制在9%以內(nèi),當(dāng)r/t≤0.2,兩者相對(duì)誤差均能夠控制在7%以內(nèi)。

3 結(jié)語

本文建立的直梁圓角形柔性鉸鏈柔度矩陣閉環(huán)解析模型,可為柔性鉸鏈以及柔性體機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)優(yōu)化提供理論依據(jù)。