柔性鉸鏈利用了金屬微小彈性變形和回復(fù)特性， 是一種微定位的高分辨率傳動(dòng)機(jī)構(gòu)。由于是一體化 加工成型，所以具有無機(jī)械摩擦、無配合空程、無需潤 滑、運(yùn)動(dòng)靈敏度高等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于各類微調(diào)裝 置、精密定位平臺(tái)、光刻技術(shù)和掃描探測顯微鏡 等。

對柔性鉸鏈工作性能產(chǎn)生影響的因素是多方面 的，設(shè)計(jì)柔性鉸鏈時(shí)會(huì)有一些前提假設(shè)，如假設(shè)僅在 鉸鏈處產(chǎn)生彈性變形，其余部分視作剛體；在工作時(shí) 假設(shè)只產(chǎn)生轉(zhuǎn)角變形，無伸縮和其他變形。而鉸鏈本 身存在一些固有缺陷，比如轉(zhuǎn)動(dòng)中心不固定、應(yīng)力集 中、應(yīng)力大小隨關(guān)節(jié)位置變化、環(huán)境對材料的影響 等。在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中往往是幾個(gè)鉸鏈和連桿 之間相互組合，組合之間的加工誤差都會(huì)帶來轉(zhuǎn)角和 直線的耦合位移，這些都會(huì)導(dǎo)致其運(yùn)動(dòng)偏離理想軌 跡。有文獻(xiàn)綜合性的對柔性鉸鏈 機(jī)構(gòu)誤差源進(jìn)行分析，對材料性能、尺寸設(shè)計(jì)、振動(dòng)干 擾、加工誤差等方面進(jìn)行探討。文獻(xiàn)給出了單平 行四邊形位移結(jié)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)耦合公式。文獻(xiàn)用多 變量泰勒級數(shù)把理想剛度公式展開，定性的分析每個(gè) 變量誤差對柔性鉸鏈的敏感性。文獻(xiàn)用有限元方法對位移機(jī)構(gòu)進(jìn)行仿真，得到柔性鉸 鏈制造誤差引起的機(jī)構(gòu)位移耦合，但是都只針對一種 機(jī)構(gòu)，所得結(jié)果有局限性。

本文中我們針對直圓柔性鉸鏈形成的梁構(gòu)件，分 析直圓柔性鉸鏈的３種加工誤差，推導(dǎo)存在誤差時(shí)的 剛度計(jì)算公式，利用數(shù)值積分和多項(xiàng)式擬合方法，得 到在不同鉸鏈參數(shù)ｔ／Ｒ 下的無量綱剛度誤差公式，并 用有限元方法（ＦＥＡ）進(jìn)行比較和驗(yàn)證。為鉸鏈的參 數(shù)設(shè)計(jì)和加工提供參考。

１　柔性鉸鏈加工誤差建模和分析

理想柔性鉸鏈的幾何結(jié)構(gòu)與如圖１所示，在轉(zhuǎn)矩 Ｍ 作用下中間薄弱部分可產(chǎn)生彈性角變形，繞Ｚ 軸 旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)。主要尺寸參數(shù)有寬度ｂ，半徑Ｒ，最小 厚度ｔ，高度ｈ，對于直圓柔性鉸鏈，ｈ＝２Ｒ＋ｔ。 根據(jù)材料力學(xué)中的撓曲 線方程可得近似公式

式中，α 是轉(zhuǎn)角；Ｍ 是轉(zhuǎn)矩；Ｅ 是材料彈性模量；Ｉ 是鉸鏈截面對ｚ 軸的慣性矩。取出如圖２的微元進(jìn)行積分，可得鉸鏈轉(zhuǎn)角公式為：

對于直圓柔性鉸鏈，?。恚剑簦遥?theta;＝π／２，積分可得轉(zhuǎn)動(dòng)剛度Ｋ 為：

本文針對鉸鏈幾何結(jié)構(gòu)的３種加工誤差進(jìn)行分析，即切口圓?。?方向定位誤差、切口圓?。?方向定位誤差和切口圓弧軸心線的垂直度誤差。

１．１　切口圓?。?方向定位誤差

柔性鉸鏈的厚度ｔ是一個(gè)重要的參數(shù)，切口圓弧ｙ 方向的定位誤差ｄ１如圖３所示，它直接影響厚度ｔ的大小。在誤差ｄ１的影響下

將式（４）代入式（５），令ｍ＝ｔ/Ｒ，ｄ１＝ｐｔ，結(jié)合式（１）、式（５）、式（６）可得關(guān)于加工誤差系數(shù)ｐ 的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為

由式（２）可得理想柔性鉸鏈剛度積分公式為

結(jié)合式（７）、式（８）得到剛度誤差為

為了更具有普遍性，這里采用了無量綱參數(shù)ｐ＝ｄ１/ｔ，對ｐ＝（－０．３，０．３）范圍內(nèi)的誤差β１進(jìn)行數(shù)值積分，并進(jìn)行六階多項(xiàng)式擬合，得到柔性鉸鏈關(guān)于無量綱誤差系數(shù)ｐ 的剛度誤差β１（ｐ）為

多項(xiàng)式系數(shù)Ｃｉ隨ｍ 大小而改變，Ｃｉ的取值見表２。

１．２　切口圓?。?方向定位誤差

理想鉸鏈的上下切口圓弧是嚴(yán)格對稱的，采用鉆孔或者電火花切割加工時(shí)，切口圓弧中心ｘ 方向定位誤差ｄ２如圖４所示，由圖可知

把式（６）、式（１１）、式（１２）帶入式（１），令ｍ＝ｔ/Ｒ，ｄ２＝ｐｔ，得到關(guān)于加工誤差系數(shù)ｐ 的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度Ｋ２，結(jié)

合式（８）可求得剛度誤差β２。對ｐ＝（０，０．３）范圍內(nèi)的誤差β２進(jìn)行數(shù)值積分和多項(xiàng)式擬合，得到鉸鏈不同ｍ 參數(shù)下誤差系數(shù)ｐ 造成的剛度誤差為

 

β２＝Ｃ１ｐ１＋Ｃ２ｐ２＋Ｃ３ｐ３＋Ｃ４ｐ４＋Ｃ５ｐ５＋Ｃ６ｐ６ （１３）

１．３　切口圓弧軸心垂直度誤差

在加工柔性鉸鏈時(shí)，切口圓弧軸心線的偏離情況較為復(fù)雜，主要有兩種情況，一種是兩圓弧的軸心線互相平行，具有共同的垂直度誤差φ，在具體的微位移機(jī)構(gòu)中，這會(huì)導(dǎo)致不對稱的應(yīng)力狀態(tài)，可能引入機(jī)構(gòu)位移耦合誤差。第二種是兩圓弧軸心線不平行，從而導(dǎo)致鉸鏈截面發(fā)生變化。我們考慮第二種情況，當(dāng)軸心線左右偏離時(shí)所得截面和上文１．２節(jié)所述類似，而當(dāng)其中一條軸心線前后偏離時(shí)的誤差ｄ３如圖５所示，取出圖５中間鉸鏈截面，如圖６所示。
ａ３＝ｔ＋２Ｒ－２Ｒｃｏｓθ （１４）
截面對Ｚ 的轉(zhuǎn)矩為

令ｍ＝ｔ/Ｒ，ｄ３＝ｐｔ，將式（１４）、式（１５）、式（６）代入式（１）可得轉(zhuǎn)動(dòng)剛度

其中，Ｚ ＝ｍ＋２－２ｃｏｓθ。結(jié)合式（８）得到剛度誤差

對ｐ＝（－０．３，０．３）范圍內(nèi)的誤差β３進(jìn)行數(shù)值積分和曲線擬合，得到不同ｍ 參數(shù)值下，軸心線垂直度誤差系數(shù)ｐ 引起的剛度誤差β３（ｐ）為

２　有限元軟件誤差分析

ＡＮＳＹＳ軟件作為一個(gè)功能強(qiáng)大、靈活的設(shè)計(jì)分析及優(yōu)化軟件包，可對多種物理場進(jìn)行分析計(jì)算，應(yīng)用ＡＮＳＹＳ的靜力分析功能，可以分析結(jié)構(gòu)在固定載荷作用下的響應(yīng)，求解載荷引起的變形和應(yīng)力。其靜力分析控制方程為

｛Ｋ｝｛Ｕ｝＝｛Ｆ｝ （１８）

式中，｛Ｋ｝表示結(jié)構(gòu)剛度矩陣；｛Ｕ｝表示位移向量；｛Ｆ｝表示力向量。

建立如圖７所示懸臂梁結(jié)構(gòu)模型，對模型進(jìn)行單元?jiǎng)澐秩鐖D８所示。利用ＡＮＳＹＳ的ｗｏｒｋｂｅｎｃｈ模塊，可以對模型的尺寸進(jìn)行參數(shù)化設(shè)計(jì)，得到各個(gè)參數(shù)組成的設(shè)計(jì)點(diǎn)，修改誤差參數(shù)的大小，可以方便的得各個(gè)不同設(shè)計(jì)點(diǎn)。對這些設(shè)計(jì)點(diǎn)進(jìn)行仿真計(jì)算，從而得到剛度誤差。

有限元模型的邊界條件對仿真結(jié)果有明顯的影響，比如，在一個(gè)節(jié)點(diǎn)上施加集中力載荷，就會(huì)在相應(yīng)處產(chǎn)生局部應(yīng)力突變，從而降低仿真的準(zhǔn)確性，此外，根據(jù)文獻(xiàn)所述，鉸鏈的形變效應(yīng)不僅僅局限在鉸鏈區(qū)域，還會(huì)對鉸鏈以外的區(qū)域產(chǎn)生影響（圖７的Ａ區(qū)域），Ａ 區(qū)域會(huì)和鉸鏈區(qū)相互作用，產(chǎn)生一些特殊形變，但這些形變對結(jié)果會(huì)有何種影響，還有待研究。因此，考慮到以上因素，對構(gòu)件左端一定距離處采取固定約束，在另一端較遠(yuǎn)處施加Ｍ ＝０．０１Ｎ·ｍ 的力矩，求解后得到中間Ｐ１點(diǎn)豎直方向即ｙ 方向的位移值，根據(jù)ΔｙＭ ＝Ｒｓｉｎ（θｍａｘ）（αＭ）［１］２０３－２２０進(jìn)而得到轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。表１是建模時(shí)的參數(shù)。

３　數(shù)值分析和有限元分析結(jié)果的比較

對于上文分析的３種剛度誤差，即切口圓弧方向定位誤差、切口圓弧方向定位誤差和切口圓弧軸心線垂直度誤差引起的剛度誤差β１、β２和β３，分別比較數(shù)值計(jì)算結(jié)果和有限元分析結(jié)果，用Ｍａｔｌａｂ繪制圖形，得到不同鉸鏈參數(shù)值ｍ 下的誤差曲線如圖９～圖１１所示，其中ＮＡ為數(shù)值分析結(jié)果，ＦＥＡ為有限元分析結(jié)果。

結(jié)合計(jì)算結(jié)果和圖９可知，ＮＡ 和ＦＥＡ 的誤差曲線較為吻合，鉸鏈參數(shù)ｍ 對誤差β１幾乎沒有影響，但是誤差系數(shù)ｄ１／ｔ對剛度的影響較大，取ｍ＝０．１，當(dāng)誤差系數(shù)ｄ１／ｔ為０．３時(shí)，ＮＡ和ＦＥＡ的剛度誤差分別可達(dá)９３．４４％和８２．５％。

由圖１０可知，誤差系數(shù)ｄ２／ｔ一定時(shí)，誤差β２隨ｍ 增大而變大，取ｄ２／ｔ為０．６，當(dāng)ｍ＝０．１時(shí)，ＮＡ 的誤差是２．５３％，ＦＥＡ的誤差是４．５９％；而當(dāng)ｍ＝０．８時(shí)，ＮＡ的誤差是３４．９４％；ＦＥＡ的誤差是２９．６１％。

鉸鏈參數(shù)ｍ 對剛度誤差β３也不敏感，但誤差參數(shù)ｄ３／ｔ的影響較大，如圖１１所示，?。恚剑埃保?dāng)ｄ３／ｔ＝０．３時(shí)，ＮＡ 的誤差是５９．１１％，ＦＥＡ 的誤差是４１．４４％；當(dāng)ｄ３／ｔ＝ －０．３ 時(shí)，ＮＡ 的誤差是－２１．５３％，ＦＥＡ的誤差是－２７．６３％。同時(shí)注意到，在數(shù)值計(jì)算時(shí)，假設(shè)圖６所示鉸鏈截面兩端的轉(zhuǎn)角是一致的，而實(shí)際上當(dāng)施加一定載荷時(shí)，截面兩端的轉(zhuǎn)角并不一致而具有一定的扭轉(zhuǎn)，這也造成了ＮＡ 和ＦＥＡ計(jì)算結(jié)果的偏差。

４　結(jié)論

直圓柔性鉸鏈的加工誤差對剛度性能有直接影響，本文中我們針對３種切口圓弧的加工誤差，推導(dǎo)存在誤差時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，并擬合出無量綱的剛度誤差公式。從公式計(jì)算結(jié)果和有限元分析的結(jié)果來看，兩者的誤差曲線有較好的一致性，驗(yàn)證了所得公式的正確性。為了減小切口圓?。?方向定位誤差的影響，ｍ的取值即ｔ／Ｒ 的取值可適當(dāng)減小，而切口圓?。?方向的定位誤差和軸心線的垂直度誤差，應(yīng)該要嚴(yán)格控制。此外，由式（７）、式（１２）、式（１５）可知鉸鏈寬度ｂ跟絕對誤差是成正比的，但是與相對誤差無關(guān)。